Power Matma - włącz MATMĘ w swojej głowie! » Ciąg Fibonacciego wokół nas

Słynny ciąg Fibonacciego od wieków fascynuje matematyków, artystów, projektantów i naukowców. Ukryty jest w nim złoty podział - wystarczy podzielić dowolny wyraz ciągu przez jego poprzednika. Czym większe liczby będziemy ze sobą dzielić, tym bliżej złotej liczby (oznaczanej grecką literą phi) utożsamianej z doskonałością. Wszechobecność tego ciągu oraz zdumiewająca funkcjonalność w przyrodzie sugeruje jego znaczenie jako fundamentalnej cechy Wszechświata.

Ciąg Fibonacciego zaczyna się w ten sposób: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 i tak dalej w nieskończoność. Każda liczba jest sumą dwóch liczb ją poprzedzających. To prosty wzór, ale wydaje się być rodzajem wbudowanego systemu numeracji otaczającego nas świata.

Leonardo Fibonacci wymyślił sekwencję, obliczając przyrost liczebności par królików w ciągu jednego roku. Dziś jego wyłaniające się wzorce i proporcje (phi = 1,61803...) można zobaczyć w mikroskali, makroskali, aż do systemów biologicznych i obiektów nieożywionych. Choć złoty podział nie uwzględnia każdej struktury i wzorca we wszechświecie, z pewnością odgrywa tu znaczącą rolę. Oto kilka przykładów.

Płatki kwiatów

Liczba płatków kwiatu jest zgodna z ciągiem Fibonacciego. Słynne przykłady obejmują lilię, która ma trzy płatki, jaskry, które mają pięć (na zdjęciu po lewej), cykoria ma 21, stokrotka 34 i tak dalej. Phi pojawia się w płatkach również ze względu na idealny ich układ podyktowany procesami darwinowskimi; każdy płatek jest umieszczony przy 0,618034 obrotu (iloraz liczby z ciągu Fibonacciego oraz jego następnego wyrazu), co pozwala na najlepszą możliwą ekspozycję na światło słoneczne.

Główki nasienne

Procesom Fibonacciego podlega także główka kwiatu. Zwykle nasiona powstają w środku, a następnie migrują na zewnątrz, aby wypełnić całą przestrzeń. Słoneczniki stanowią doskonały przykład tych spiralnych wzorów.

W niektórych przypadkach główki nasienne są tak ciasno upakowane, że całkowita liczba może być dość wysoka — aż 144 lub więcej. Licząc te spirale, suma zwykle odpowiada liczbie Fibonacciego.

Szyszki

Podobnie strąki nasion na szyszce są ułożone spiralnie. Każdy stożek składa się z pary spiral, z których każda wznosi się spiralnie w górę w przeciwnych kierunkach. Liczba kroków prawie zawsze będzie odpowiadać parze kolejnych liczb Fibonacciego. Na przykład stożek 3-5 to stożek, który spotyka się z tyłu po trzech krokach wzdłuż lewej spirali i pięciu krokach po prawej.

Owoce i warzywa

Podobnie podobne spiralne wzory można znaleźć na ananasach i kalafiorach.

Gałęzie drzew

Sekwencję Fibonacciego można również zobaczyć w sposobie tworzenia lub podziału gałęzi drzew. Główny pień będzie rósł, aż wytworzy gałąź, która stworzy dwa punkty wzrostu. Następnie jeden z nowych pędów rozgałęzia się na dwa, a drugi pozostaje w stanie uśpienia. Ten wzór rozgałęzień powtarza się dla każdej nowej łodygi. Systemy korzeniowe, a nawet glony wykazują ten sam wzór.

Muszle

Złoty podział możemy odnieść również do prostokątów uznając, że stworzyliśmy coś, co moglibyśmy nazwać Złotym Prostokątem. Właściwości Złotego Prostokąta stanowią kolejny przykład ciągu Fibonacciego w przyrodzie. Prostokąt, w którym stosunek boków a do b jest równy złotej liczbie (phi), może stworzyć nam spiralę, którą możemy rozwijać w nieskończoność.

Muszle ślimaków są przykładem takiej spirali, podobnie jak ślimak ucha wewnętrznego w naszym ciele. Można to również zobaczyć w rogach niektórych kóz i kształcie niektórych pajęczych sieci.

Galaktyki spiralne

Nie dziwi fakt, że galaktyki spiralne również podążają za znanym wzorem Fibonacciego. Droga Mleczna ma kilka ramion spiralnych, a każde z nich jest spiralą stworzoną na wzór ciągu Fibonacciego.

Huragany

Twarze

Twarze ludzkie obfitują w przykłady złotego podziału. Usta i nos znajdują się w złotych proporcjach odległości między oczami a dolną częścią brody. Podobne proporcje widać z profilu.

Warto zauważyć, że ciało każdego człowieka jest inne, ale średnie wyniki w populacjach mają tendencję do liczby phi. Mówi się też, że im bardziej nasze proporcje odpowiadają liczbie phi, tym bardziej „atrakcyjnie” te cechy są postrzegane. Przykładowo najpiękniejsze uśmiechy to te, w których siekacze środkowe są o 1,618 szersze od siekaczy bocznych, które są o 1,618 szersze od kłów i tak dalej. Jest całkiem możliwe, że z perspektywy evo-psychologii jesteśmy skłonni lubić formy fizyczne zgodne ze złotym podziałem – potencjalnym wskaźnikiem sprawności i zdrowia reprodukcyjnego.

Palce

Patrząc na długość naszych palców, każda część – od czubka nasady do nadgarstka – jest większa od poprzedniej mniej więcej phi razy.

Ciała zwierząt

Nawet nasze ciała mają proporcje zgodne z liczbami Fibonacciego. Na przykład pomiar od pępka do podłogi i czubka głowy do pępka to złoty podział. Ciała zwierząt wykazują podobne tendencje, w tym delfiny (wszystkie oczy, płetwy i ogony są oddalone względem siebie o liczbę phi), rozgwiazdy, jeżowce, mrówki i pszczoły miodne.

Dynamika reprodukcyjna

A jeśli już mowa o pszczołach miodnych, wykazują tendencję według ciągu Fibonacciego na inne ciekawe sposoby. Najmocniejszym przykładem jest podzielenie liczby samic w populacji przez liczbę samców (samice zawsze przewyższają liczebnie samce). Odpowiedź to zazwyczaj wartość bardzo bliska 1,618. Ponadto drzewo genealogiczne pszczół miodnych również przebiega według znanego schematu. Mężczyźni mają jednego rodzica (samicę), podczas gdy samice mają dwóch (samicę i mężczyznę). Tak więc, jeśli chodzi o drzewo genealogiczne, mężczyźni mają odpowiednio 2, 3, 5 i 8 dziadków, pradziadków, prapradziadków i praprapradziadków. Zgodnie z tym samym schematem kobiety mają 2, 3, 5, 8, 13 i tak dalej.

Cząsteczki DNA

Nawet mikroskopijna sfera nie jest w stanie oprzeć się liczbom z ciągu Fibonacciego. Cząsteczka DNA ma długość 34 angstremów i szerokość 21 angstremów w każdym pełnym cyklu spirali podwójnej helisy. Liczby te, 34 i 21, są liczbami w ciągu Fibonacciego, a ich stosunek 1,6190476 jest bardzo zbliżony do Phi, czyli 1,6180339.

mgr Adam Wysocki

Źródło:

https://www.mathnasium.com/blog/14-interesting-examples-of-the-golden-ratio-in-nature